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Die `!vertikale Linienmethode`! (engl. `*method of lines`*, MOL) ist ein Verfahren zum Lösen (`F33f`_`[parabolischer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Parabolische_partielle_Differentialgleichung]`_`f) `F33f`_`[partieller Differentialgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Differentialgleichung]`_`f, bei welcher alle bis auf eine Dimension (üblicherweise die Zeitvariable) `F33f`_`[diskretisiert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Diskretisierung]`_`f werden. Durch die Diskretisierung ergibt sich damit an Stelle der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches mit adäquaten Mitteln behandelt werden kann. Von besonderem Interesse ist die `F33f`_`[numerische`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Numerik]`_`f Version, auch „NMOL“ genannt. Hierbei erfolgt die Lösung des durch die Diskretisierung erhaltenen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen zum Beispiel durch die Anwendung von `F33f`_`[Ein-`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einschrittverfahren]`_`f oder `F33f`_`[Mehrschrittverfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mehrschrittverfahren]`_`f, insbesondere `F33f`_`[Runge-Kutta-Verfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Runge-Kutta-Verfahren]`_`f. Diese Tatsache zeigt bereits die Grenzen der Einsatzmöglichkeiten dieses Verfahrens: Um Ein- oder Mehrschrittverfahren anwenden zu können, muss das sich nach der Diskretisierung ergebende Problem ein `F33f`_`[Anfangswertproblem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Anfangswertproblem]`_`f erster Ordnung darstellen, was wiederum bedeutet, dass das ursprüngliche Problem in wenigstens einer Variablen ein Anfangswertproblem erster Ordnung sein muss.

Diesem Verfahren steht die `!horizontale Linienmethode`! gegenüber, welche besser unter dem Namen `*Rothe-Methode`* bekannt ist (benannt nach `F33f`_`[Erich Rothe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erich_Rothe]`_`f). Die Idee bei der Rothe-Methode für parabolische Anfangs-`F33f`_`[Randwertprobleme`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Randwertproblem]`_`f besteht darin, zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der Zeit vorzunehmen, um somit das Problem direkt zu einem Anfangswertproblem im Funktionenraum umzuformulieren.

>>Contents

• `F0af`_`[Vertikale Linienmethode`#vertikale-linienmethode]`_`f

• `F0af`_`[Horizontale Linienmethode (Rothe-Methode)`#horizontale-linienmethode-rothe-methode]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

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>>Vertikale Linienmethode

Die Idee bei der (vertikalen) Linienmethode für parabolische Anfangs-Randwertprobleme besteht darin, zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der räumlichen Variablen und danach das resultierende Problem hinsichtlich der Zeit zu diskretisieren. Im Fall einer konformen Approximation, sei V := H 0 1 {\\displaystyle V:=H_{0}^{1}} (siehe `F33f`_`[Sobolev-Räume`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sobolev-Raum]`_`f), H := L 2 ( Ω Ω ) {\\displaystyle H:=L^{2}(\\Omega )} (siehe `F33f`_`[Lp-Räume`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lp-Raum]`_`f) und u 0 ∈ ∈ H {\\displaystyle u_{0}\\in H} . Das verallgemeinerte Problem einer parabolischen Differentialgleichung bedeutet nun: Man finde ein u ∈ ∈ W 2 1 ( 0 , T ; V , H ) {\\displaystyle u\\in W_{2}^{1}(0,T;V,H)} mit u ( 0 ) = u 0 ∈ ∈ H {\\displaystyle u(0)=u_{0}\\in H} , so dass:

d d t ( u ( t ) , v ) + A ( u ( t ) , v ) = ( f ( t ) , v ) ∀ ∀ v ∈ ∈ V {\\displaystyle {\\frac {d}{dt}}(u(t),v)+A(u(t),v)=(f(t),v)\\quad \\forall v\\in V} ,

wobei A ( , ) {\\displaystyle A(,)} eine beschränkte, V-elliptische Bilinearform auf V × × V {\\displaystyle V\\times V} und f ∈ ∈ L 2 ( 0 , T ; V ∗ ∗ ) {\\displaystyle f\\in L_{2}(0,T;V^{*})} ist.

Wenn die räumliche Diskretisierung mit `F33f`_`[finiten Elementen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Finite-Elemente-Methode]`_`f erfolgt, dann erhalten wir für V n ⊂ ⊂ V {\\displaystyle V_{n}\\subset V} (Finite-Element-Funktionenraum) das diskrete Problem:

d d t ( u n ( t ) , v n ) + A ( u n ( t ) , v n ) = ( f ( t ) , v n ) ∀ ∀ v n ∈ ∈ V n {\\displaystyle {\\frac {d}{dt}}(u_{n}(t),v_{n})+A(u_{n}(t),v_{n})=(f(t),v_{n})\\quad \\forall v_{n}\\in V_{n}} ,

wobei u n ( 0 ) = u n 0 {\\displaystyle u_{n}(0)=u_{n}^{0}} eine Approximation von u 0 in V n {\\displaystyle u_{0}{\\mbox{ in }}V_{n}} .

Sei nun { ϕ ϕ 1 … … ϕ ϕ n } {\\displaystyle \\{\\phi _{1}\\ldots \\phi _{n}\\}} eine Basis von V n {\\displaystyle V_{n}} und u n ( x , t ) = ∑ ∑ i = 1 N c i ( t ) ϕ ϕ i ( x ) {\\displaystyle u_{n}(x,t)=\\sum _{i=1}^{N}c_{i}(t)\\phi _{i}(x)} . Dann ergeben sich als Galerkingleichungen für das oben beschriebene diskrete Problem:

∑ ∑ i = 1 N c i ′ ( t ) ( ϕ ϕ i , ϕ ϕ j ) + ∑ ∑ i = 1 N c i ( t ) A ( ϕ ϕ i , ϕ ϕ j ) = ( f ( t ) , ϕ ϕ j ) , ∀ ∀ j = 1 … … , N {\\displaystyle \\sum _{i=1}^{N}c_{i}'(t)(\\phi _{i},\\phi _{j})+\\sum _{i=1}^{N}c_{i}(t)A(\\phi _{i},\\phi _{j})=(f(t),\\phi _{j}),\\,\\forall j=1\\ldots ,N} ,

mit c i ( 0 ) = γ γ i 0 , wobei u n 0 = ∑ ∑ i = 1 N γ γ i 0 ϕ ϕ ( x ) {\\displaystyle c_{i}(0)=\\gamma _{i}^{0},{\\mbox{ wobei }}u_{n}^{0}=\\sum _{i=1}^{N}\\gamma _{i}^{0}\\phi (x)} .

Damit erhalten wir eine Differentialgleichung der Form

D c ^ ^ ′ ( t ) + A c ^ ^ ( t ) = f ^ ^ ( t ) {\\displaystyle D{\\hat {c}}^{'}(t)+A{\\hat {c}}(t)={\\hat {f}}(t)} ,

wobei D := ( d i j ) {\\displaystyle D:=(d_{ij})} mit d i j = ( ϕ ϕ j , ϕ ϕ i ) {\\displaystyle d_{ij}=(\\phi _{j},\\phi _{i})} , A := ( a i j ) {\\displaystyle A:=(a_{ij})} mit a i j = A ( ϕ ϕ j , ϕ ϕ i ) {\\displaystyle a_{ij}=A(\\phi _{j},\\phi _{i})} und f j = ( f ( t ) , ϕ ϕ j ) {\\displaystyle f_{j}=(f(t),\\phi _{j})} bzw. c ^ ^ := ( c i ) {\\displaystyle {\\hat {c}}:=(c_{i})} und f ^ ^ := ( f i ) {\\displaystyle {\\hat {f}}:=(f_{i})} .

>>Horizontale Linienmethode (Rothe-Methode)

Wir gehen wieder von der verallgemeinerten Form

d d t ( u n ( t ) , v n ) + A ( u n ( t ) , v n ) = ( f ( t ) , v n ) ∀ ∀ v n ∈ ∈ V n {\\displaystyle {\\frac {d}{dt}}(u_{n}(t),v_{n})+A(u_{n}(t),v_{n})=(f(t),v_{n})\\quad \\forall v_{n}\\in V_{n}} ,

mit u ( 0 ) = u 0 ∈ ∈ H {\\displaystyle u(0)=u_{0}\\in H} und u ∈ ∈ W 2 1 ( 0 , T ; V , H ) {\\displaystyle u\\in W_{2}^{1}(0,T;V,H)} aus. Dann wird das Zeitintervall in p {\\displaystyle p} Teilintervalle mit der Gitterweite τ τ {\\displaystyle \\tau } zerlegt. Es sei diesmal ϕ ϕ i {\\displaystyle \\phi _{i}} die Hütchenfunktion in der Zeit, das heißt bei einer zeitlichen Diskretisierung mit den Gitterpunkten { t 0 , … … , t p } {\\displaystyle \\{t_{0},\\ldots ,t_{p}\\}} gilt

ϕ ϕ i ( t ) = { t − − t i − − 1 t i − − t i − − 1 t ∈ ∈ [ t i − − 1 , t i ) t i + 1 − − t t i + 1 − − t i t ∈ ∈ [ t i , t i + 1 ) 0 sonst {\\displaystyle {\\phi _{i}(t)}={\\begin{cases}{\\frac {t-t_{i-1}}{t_{i}-t_{i-1}}}&t\\in [t_{i-1},t_{i})\\\\{\\frac {t_{i+1}-t}{t_{i+1}-t_{i}}}&t\\in [t_{i},t_{i+1})\\\\0&{\\mbox{sonst}}\\end{cases}}} .

Dann wird eine Näherung für u ( x , t ) {\\displaystyle u(x,t)} beschrieben durch die Rothe-Funktion

u τ τ ( x , t ) = ∑ ∑ i = 1 p z i ( x ) ϕ ϕ i ( t ) {\\displaystyle u^{\\tau }(x,t)=\\sum _{i=1}^{p}z_{i}(x)\\phi _{i}(t)} .

Unter Verwendung des `F33f`_`[impliziten Eulerverfahrens`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Implizites_Euler-Verfahren]`_`f löst man nun in jedem Zeitschritt das Ortsproblem

( z i + 1 − − z i τ τ i , v ) + A ( z i + 1 , v ) = ( f i + 1 , v ) {\\displaystyle \\left({\\frac {z_{i+1}-z_{i}}{\\tau _{i}}},v\\right)+A(z_{i+1},v)=(f_{i+1},v)} ,

wobei τ τ i = t i + 1 − − t i {\\displaystyle \\tau _{i}=t_{i+1}-t_{i}} . Auch die Verwendung anderer Integrationsverfahren ist möglich; da die Probleme jedoch meistens steif sind, sollte ein implizites Verfahren bevorzugt werden.

>>Literatur

• William E. Schiesser: `*The Numerical Method of Lines. Integration of partial differential Equations.`* Academic Press, San Diego u. a. 1991, ISBN 0-12-624130-9

• William E. Schiesser: `*Computational mathematics in Engineering and Applied Science. ODEs, DAEs, and PDEs.`* CRC Press, Boca Raton FL u. a. 1994, ISBN 0-8493-7373-5.

>>Weblinks

• Beschreibung in der Mathematica 5.2 Dokumentation (engl.) (`F33f`_`[Memento`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Webarchivierung]`_`f vom 8. Februar 2009 im `*`F33f`_`[Internet Archive`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Internet_Archive]`_`f`*)

• Beschreibung der Methode von Michael B. Cutlip und Mordechai Shacham (engl.) (PDF; 92 kB)

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